Die Mathematik hinter den Spielautomaten

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Mathe. Erinnern Sie sich noch an das Fach, das Sie in der Schule nicht mochten? Aber tatsächlich spielt es in der Welt der Spielautomaten und Kasinos eine wichtige Rolle. Wer hätte das gedacht?

Hier erklären wir die Mathematik, die hinter den Spielautomaten steckt, ganz genau. Jeder Automat ist dazu angelegt, dem Spieler einen gewissen Prozentsatz seines Einsatzes auszuzahlen. Das ist ein Fakt. Aber wie viel zurückgezahlt wird, variiert von Automat zu Automat und von Kasino zu Kasino. Eins haben alle Automaten jedoch gemeinsam – je länger man spielt, desto näher kommt man mit den Auszahlungen an die theoretischen Ergebnisse heran.

Spielautomaten verwenden einen Zufallsgenerator, um eine Reihe von theoretischen Wahrscheinlichkeiten zu erzielen. Willkürliche Auswahl bedeutet, dass jedes Mal, wenn man den Hebel betätigt und die Walzen in Bewegung setzt, eine Kombination aus Symbolen willkürlich erscheint. Die Willkür entsteht dadurch, dass jede Betätigung des Hebels unabhängig von jeder anderen Betätigung ist. Das bedeutet, dass das Ergebnis der letzten und vorletzten Drehung (und auch allen anderen davor) keine Auswirkungen auf die aktuelle Drehung hat.

Theoretische Wahrscheinlichkeiten werden direkt bei den Automaten programmiert. Und es ist aufgrund dessen tatsächlich möglich, den exakten Prozentsatz der Auszahlungen für jeden Automaten langfristig zu berechnen.

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Abgesehen von Videospielautomaten haben Spielautomaten mehrere Räder, die als Walzen bezeichnet werden. Auf jeder Walze gibt es Symbole. Jedes Symbol definiert einen Haltepunkt, der auf der Gewinnlinie erscheinen kann, wenn die Walzen aufhören sich zu drehen. Wenn alle Walzen stehengeblieben sind, kann dies unter Umständen zu einer Kombination aus Symbolen führen, die in einem Gewinn resultiert. Die Wahrscheinlichkeit, eine Auszahlung bei einem Spielautomaten zu erhalten, hängt von der Anzahl der Walzen und der Anzahl der Symbole auf jeder Walze ab.

Der beliebteste Spielautomat

Die gängigste Art von Spielautomaten hat drei Walzen mit je drei Symbolen. Um die Anzahl der Kombinationen aus Symbolen zu berechnen, muss man die Anzahl der Symbole auf jeder Walze mit der Nummer von Haltepunkten auf jeder verbleibenden Walze multiplizieren. Für das obige Beispiel wäre die Rechnung 20 x 20 x 20 = 8000 Kombinationen aus Symbolen.

Wir nehmen einmal an, dass der angebotene Jackpot des Spielautomats bei der Kombination 7 7 7 ausgezahlt wird und es auf jeder Walze nur eine 7 gibt. Die Wahrscheinlichkeit, den Jackpot zu erreichen, liegt dann also bei 1/20 x 1/20 x 1/20. Oder einfacher ausgedrückt: 1 zu 8000. Können Sie noch folgen? Nein? Vielleicht hätten Sie in Mathe ja doch besser aufpassen sollen …

Mit dem obigen Beispiel kann man jede Wahrscheinlichkeit von jeder Kombination aus Symbolen berechnen, wenn man weiß, wie oft ein Symbol auf einer Walze vorhanden ist.

Auch wenn die Mathematik kompliziert erscheinen kann, ist die Theorie, die dahintersteckt, ganz simpel. Jeder Spielautomat basiert auf Berechnungen zu den möglichen Ausgängen.

Technologie bringt Schwierigkeiten mit sich

Früher, als es hauptsächlich mechanische Spielautomaten gab, war es nicht sonderlich schwer, die Symbole auf jeder Walze zu zählen und die Auszahlung jedes Automaten zu bestimmen. Heutzutage werden die Automaten allerdings mit einem Mikroprozessor betrieben, und diese Berechnungen erscheinen fast unmöglich. Die Anzahl der möglichen Haltepunkte auf jeder Walze kann bis zu 256 betragen. Um die Auszahlungen eines solchen Automaten zu bestimmen, müsste man die Bautechnik quasi rückwärts betrachten, und das kann kein Spieler leisten. Nein, selbst Sie nicht.

Die Anzahl der Walzen bei einem Automaten hat größere Auswirkungen als die Anzahl der Symbole pro Walze. Behalten Sie das im Hinterkopf, denn es ist wichtig.

Wenn man einen Automaten mit 32 Haltepunkten pro Walze auf drei Walzen und einen Automaten mit 22 Haltepunkten pro Walze auf vier Walzen betrachtet, dann sieht man, was für einen großen Unterschied eine einzige zusätzliche Walze macht:

• 32 Haltepunkte, 3 Walzen: 32 x 32 x 32 = 32.768 Kombinationen

• 22 Haltepunkte, 4 Walzen: 22 x 22 x 22 x 22 = 234.256 Kombinationen

Bei einem Automaten mit fünf Walzen und 32 Haltepunkten pro Walze gibt es mehr als 33 Millionen Kombinationen!

Jeder Spielautomat hat einen vorherrschenden Auszahlungsprozentsatz. Wenn ein Automat zum Beispiel damit wirbt, dass 97,8 % zurückgezahlt werden, dann bedeutet das in Wirklichkeit, dass man für jeden Euro, den man einwirft, 97,8 Cent zurückbekommt. So könnte man es alternativ ausdrücken.
Für jeden Euro, den man in den Automaten einwirft, behält das Kasino 2,2 Cent zurück. Unglaublich, oder? Und denken Sie immer daran, dass diese Prozentangaben sich nur auf langfristiges Spielen beziehen. Und damit sind Tausende (oder sogar Millionen) von Runden gemeint!

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Spieler interpretieren den Prozentsatz oft falsch und glauben, dass wenn sie zum Beispiel mit 100 Euro Einsatz an einem Automaten spielen, der eine Auszahlung von 97,8 % verspricht, nur 2,20 Euro verlieren können. Aber diese Logik ist nicht richtig. Es handelt sich um theoretische Prozentätze, die man nur bei langem Spielen erreichen kann. Bei zehn oder sogar ein paarhundert Drehungen variiert der Prozentsatz stark. Wenn ein Spieler 100 Euro für den Automaten mitbringt, dann wird dieser Betrag in der Regel auch nicht auf einmal eingesetzt. Meistens verwendet man kleinere Beträge, die man erhöht, wenn es nötig ist. Dieses Muster wird wiederholt, bis das Geld verbraucht ist. Und die Prozentsatztheorie hilft einem dabei nicht wirklich.

In Wahrheit behält das Kasino den Prozentsatz bei jeder eingeworfenen Münze zurück. Der Spieler kann das Spiel nicht begrenzen, und der Automat behält langfristig etwas von jedem Einsatz ein. Das ist die Realität der Mathematik hinter den Spielautomaten.

Tabelle 1 (unten) zeigt den niederschmetternden Effekt, den der Bankvorteil auf das Budget des Spielers haben kann. Hier werden Prozentsätze von 2 % bis 15 % für zehn Spielrunden verglichen, beginnend bei 100 Euro.

Tabelle 1. Zurückbehaltene Summe pro Spielrunde

Behält 2% 5% 10% 15%
Automat

Startrunde €100 €100 €100 €100
1 98 95 90 85
2 96 90 81 72
3 94 86 73 61
4 92 81 66 52
5 90 77 59 44
6 88 73 53 38
7 86 69 48 32
8 85 66 43 27
9 83 63 39 23
10 81 60 35 20

Die Tabelle zeigt, dass, wenn das Kasino 15 % zurückbehält, nach einer Spielrunde nur noch 85 Euro übrig bleiben. Nach zehn Runden wurden die 100 Euro auf 20 Euro reduziert. Wenn man das mit der 2 %-Rate vergleicht, sieht man, dass man selbst nach zehn Runden noch immer 81 Euro zurückbehält. Auch wenn man nach und nach Geld verliert, würde man wieder aufholen, indem man nur eine einzige höhere Auszahlung erreicht. Und mit dem Geld gewinnt man auch wieder mehr Spielzeit. Daher sollte man immer Automaten wählen, die niedrigere Prozentsätze zurückbehalten.

Leider verraten die Kasinos nicht, wie hoch diese Rate bei den Spielautomaten ist. (Warum wohl?!) Aber man kann bei einigen Kasinos die Gewinnraten herausfinden, wenn man ein wenig recherchiert. Und das zu tun, ist sehr ratsam.

Ein paar Informationen können viel bewirken

Wenn man einen bestimmten Spielautomaten ein bisschen genauer analysiert, kann man herausfinden, wie dieser in Bezug auf die Gewinnraten programmiert ist. Tabelle 2 (unten) analysiert einen dreiwalzigen Zwei-Münzen-Multiplizierer, bei dem es bei zwei Gewinnkombinationen Boni gibt. Die Tabelle zeigt die Auszahlungstabelle für einen solchen Automaten.

Tabelle 2. Auszahlungstabelle für einen dreiwalzigen Zwei-Münzen-Multiplizierer

Symbole 1 Münze 2 Münzen

7B 7B 7B 200 1000

5B 5B 5B 50 150

1B 1B 1B 10 20

AB AB AB 5 10

— — — 1 2

Schlüssel:

7B = Sieben Balken

1B = Ein Balken

5B = Fünf Balken

— = Leer

Boni werden bei 7B 7B 7B und 5B 5B 5B ausgezahlt, wenn zwei Münzen gespielt werden.

Im ersten Schritt wird der Automat analysiert, indem man die Anzahl der Symbole (oder Haltepunkte) pro Walze hervorhebt. Der besagte Automat hat 32 Haltepunkte, und die Walzenanalyse befindet sich unten in Tabelle 3.

Tabelle 3. Walzenanalyse dreiwalziger Zwei-Münzen-Multiplizierer

Anzahl der Symbole pro Walze

Symbol Walze 1 Walze 2 Walze 3

7B 2 1 1

5B 5 4 4

1B 9 9 9

— 16 18 18

Um das zu erklären, muss man ein paar Zahlen analysieren (wir haben Sie gewarnt). Bei drei Walzen mit je 32 Symbolen gibt es insgesamt 32.768(!) Kombinationen, also 32 x 32 x 32. Da es Boni gibt, wenn die zweite Münze eingesetzt wird, kommen weitere 32.768 Kombinationen hinzu. Eine gespielte Münze = 32.768 Kombinationen. Zwei Münzen = 65.536. Die Summe verdoppelt sich. Tabelle 4 zeigt eine Analyse aller Gewinnkombinationen des Automaten.

Tabelle 4. Analyse der Gewinnauszahlungen

Auszahlungen
Kombination # auf Walzen Treffer Abzug 1 Münze 2 Münzen Auszahlung in %
7B 7B 7B 2 1 1 2 -0- 400 2,000 1,4%

5B 5B 5B 5 4 4 80 -0- 4,00 12,000 14,0%

1B 1B 1B 9 9 9 729 -0- 7290 14.580 25,6%

AB AB AB 16 18 18 3136 811 11.625 23.250 40,8%

— — — 16 18 18 5184 -0- 5184 10.368 18,2%

Gesamt 9131 811 28.499 62.198 100,0

Weniger Abzüge – 811

Treffer 8320

Sieht kompliziert aus, oder? Hier folgt die Erklärung.

Die erste Spalte zeigt alle Gewinnkombinationen. In der zweiten Spalte stehen die Zahlen der Symbole auf jeder Walze. Für die Kombination 5B 5B 5B gibt es fünf 5B-Symbole auf der ersten Walze, vier auf der zweiten Walze und vier auf der dritten Walze. Die nächste Spalte zeigt die Gesamtanzahl der Gewinnkombinationen (auch Treffer genannt). Für die obige Kombination aus 5B 5B 5B haben wir 5 x 4 x 4, was 80 Treffer ergibt. In der nächsten Spalte (Abzug) wird angezeigt, wie oft ein Symbol genutzt wird, um die unterschiedlichen Auszahlungen zu berechnen, wobei das gleiche Symbol genutzt wird. Dies wird abgezogen, damit das gleiche Symbol nicht zweimal genutzt wird.

Alle, die genau aufgepasst haben, fragen sich jetzt wahrscheinlich, warum 811 Treffer von der Gesamttrefferanzahl für die Kombination AB AB AB abgezogen werden. Das liegt daran, dass 729 der Balkensymbole die Kombination 1B 1B 1B ergeben und 80 der Balkensymbole aus der Kombination 5B 5B 5B bestehen. So entsteht eine Gesamtanzahl von 811.

Die Auszahlungsspalten sind aufgeteilt in Auszahlungen für eine und zwei eingesetzte Münzen. Die Anzahl in diesen Spalten wurde berechnet, indem die Auszahlung für jede Kombination aus Symbolen mit der Anzahl der Treffer für diese Kombination multipliziert wurde.

Bei der Kombination 5B 5B 5B werden die Auszahlungen für eine Münze mit 80 Treffern x 50 Münzen für eine Auszahlung von 4000 mit einer eingesetzten Münze berechnet. Wenn zwei Münzen gespielt werden und die gleiche Kombination erscheint, werden die Auszahlungen mit 80 Treffern x 150 Münzen mit 1200 Münzen berechnet, wodurch sich die Bonusauszahlung ergibt.

Wenn man die Gesamtanzahl der Treffer hinzuzählt, erhält man eine Gesamtsumme von 9131, bevor die sich überschneidenden Symbole abgezogen werden. Wenn man 811 für die sich überschneidenden Symbole abzieht, erhält man 8320 Treffer, die zu einer Auszahlung führen.

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Um die Summe zu berechnen, die der Automat zurückbehält, muss man die Anzahl der Auszahlungen durch die Gesamtanzahl der Kombinationen teilen:

Auszahlung % Auszahlungen Gesamtkombis Auszahlung %
1 Münze 28.499 32.768 86,97%
2 Münzen 62.198 65.536 94,90%

Wenn Sie sich die letzte Spalte von Tabelle 4 ansehen, stellen Sie fest, dass fast 85 % der Auszahlungen bei den niedrigeren Zahlungskombinationen zustande kommen. Für eine geeignete Gewinnstrategie ist das eine wichtige Information.

So funktioniert also die Mathematik der Spielautomaten. Einfach ist es nicht. Aber es ist wichtig, dass man die Fakten des Spiels kennt, um eine Strategie zu entwickeln. Wie immer gilt hier: Je mehr Recherche sie betreiben, desto mehr erhöhen sich Ihre Gewinnchancen.